Série de Fourier

Série de Fourier é uma forma de série trigonométrica usada para representar funções infinitas e periódicas complexas dos processos físicos, na forma de funções trigonométricas simples de senos e cossenos.^[1][2] Isto é, simplificando a visualização e manipulação de funções complexas.^[3] Foi criada em 1807 por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).^[3]

A forma geral da série é:^[1]

${\displaystyle T(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cdot \cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\cdot \operatorname {sen} \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right]}$

em que os coeficiente ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle b_{n}}$ são números que variam de acordo com a função que será representada, de período fundamental ${\displaystyle 2L}$. Esses coeficientes são as amplitudes de cada onda em série,^[2] que são calculadas com as seguintes fórmulas:^[1]

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{L}}\int _{c}^{c+2L}f(t)\,dt}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{L}}\int _{c}^{c+2L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\,dt}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{L}}\int _{c}^{c+2L}f(t)\,\operatorname {sen} \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\,dt}$

A Série de Fourier é importante na técnica de compactação digital, como por exemplo: para reproduzir músicas digitais por streaming, para ver imagens online de rápido carregamento, e no cancelamento de ruído nos fones de ouvido.^[4]

A série surgiu na tentativa de Fourier solucionar um problema físico, que gerou novas fronteiras na matemática.^[3] Durante o estudo da propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa propagação deveria ser por ondas de calor, levando em consideração que a forma mais simples de uma onda é uma função senoidal.^[3][4] Assim Fourier demonstra através da transformada que qualquer função complexa, pode ser decomposta em uma combinação infinita de senoides,^[4] dividida como uma soma de senos e cossenos.^[2][3]

A ideia de decompor funções arbitrárias em termos de funções trigonométricas simples movimentou grandes nomes da matemática começando por volta de 1750 com L. Euler (1707-1783) e D. Bernoulli (1700-1782), seguindo com J. d'Alembert (1717-1783) e J. L. Lagrange (1736-1813).^[5]

Mais tarde Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) estudou sistematicamente tais séries infinitas, na tentativa de resolver a equação do calor. Em 1811, em sua Théorie mathématique de la chaleur (Teoria matemática de condução do calor), Fourier explicitou os coeficientes de tais séries (que ficaram conhecidos como coeficientes de Fourier, embora Euler já conhecesse o formato dos mesmos) e escreveu as séries de senos e cossenos de várias funções. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier, embora muito importantes a forma da série que recebeu o seu nome, são informais, em boa parte devido à falta de uma definição concisa de funções e integrais até o início do século XIX.^[6]

P. G. Dirichlet (1805-1859) foi um dos primeiros a reconhecer que nem toda função poderia ser representada por uma série de Fourier (fato que Fourier acreditava), obtendo uma condição suficiente para a validade da representação a partir da série estudada. Em um trabalho de 1829, Dirichlet dá a primeira demonstração rigorosa de que a série de Fourier de uma função f converge, em cada ponto x, para a média aritmética dos limites laterais de f nesse ponto. Nesse trabalho Dirichlet dá origem ao conceito de função como hoje se é conhecido.^[5]

Aparentemente por influência de Dirichlet, G. B. Riemann (1826-1866) se interessou pelo estudo das séries trigonométricas, sendo levado a estudar a integral que leva hoje o seu nome e publicando em 1854 um trabalho intitulado "Sobre a representação de funções por meio de séries trigonométricas".^[5]

Em 1876 du Bois-Reymond (1818-1896) construiu função cuja série de Fourier divergia em um dado ponto, e mais tarde ele mesmo construiu uma função cuja série divergia em um conjunto denso. Exemplos mais simples foram dados por L. Fejér (1880 -1959) em 1909. Vale citar também que em 1861 K. Weierstrass (1815-1897) deu o primeiro exemplo de função contínua sem derivada em ponto algum, sendo tal função definida por uma série trigonométrica que converge uniformemente (portanto uma série de Fourier).^[6]

Não esqueçamos de citar G. Cantor (1845-1918), o qual teve grande influência pelo trabalho de Dirichlet e investigou o problema da unicidade da representação de funções por séries trigonométricas. Tais influências foram decisivas para a definição de números reais como sequência de números racionais e para a criação da Teoria dos Conjuntos, o que mostra o quão importante para o desenvolvimento da fundamentação teórica da matemática foi a teoria das séries de Fourier, podendo esta, então, ser considerada uma das teorias mais importantes da Análise.^[5]

Embora o objetivo inicial de Joseph Fourier fosse resolver a equação do calor, depois que o método foi estudado e encontrado ele foi sendo usado para resolver muitos problemas matemáticos e físicos e, em especial, os que continham equações diferenciais. Esse estudo, conhecido hoje por Série de Fourier, tem aplicação direta nas áreas da engenharia elétrica, análise de vibrações, acústica, óptica, processamento de sinais, processamento de imagens, econometria.^[7] De encontro com esse aspecto está que, durante a elaboração da Série de Fourier, Joseph Fourier não estava focado em entender o calor enquanto entidade física (explicitando que não era o foco dele, mas que na pressão de dar uma explicação ele diria que a condução do calor se daria como radiação) mas para ele o importante era descrever matematicamente o comportamento do calor.^[8]

Um conjunto ortogonal de funções é uma generalização de um conjunto ortogonal de vetores, seja um conjunto ortogonal de vetores um conjunto de vetores perpendiculares entre si. As propriedades de um conjunto ortogonal de funções são derivadas por analogia dos conjuntos ortogonais de vetores.^[9]

Seja V ou um certo V(k) um vetor com n coordenadas definimos a fórmula que relaciona a norma do vetor com cada coordenada como:

${\displaystyle \left\|V\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}V(k)^{2}}$ .

Definição 1: A condição para que dois vetores sejam ortogonais é que o produto interno entre ambos seja igual a zero, e o produto interno é definido como:

${\displaystyle (V_{1},V_{2})=\sum _{k=1}^{n}V_{1}(k)V_{2}(k)}$

Precisamos definir o que é um conjunto ortonormal de vetores, para isto usaremos primeiramente um conjunto de 3 vetores ortogonais. Seja ${\displaystyle V_{n}}$ um conjunto de 3 vetores, ou seja, teremos ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$ onde cada vetor possui 3 coordenadas. Calculamos as componentes de um vetor que faz parte do conjunto ortonormal de vetores segundo a fórmula:

${\displaystyle \phi _{n}(k)=\left\|V_{n}\right\|^{-1}V_{n}(k)}$

em que n representa o vetor e k representa a sua respectiva coordenada. Note que o vetor é unitário e sua direção não mudou, portanto, neste exemplo, o conjunto ortonormal de vetores são os 3 ${\displaystyle \phi _{n}}$ que representam cada vetor ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$.

Agora veja, podemos definir qualquer vetor, por exemplo ${\displaystyle F}$, do espaço tridimensional como uma combinação linear do conjunto ortonormal, ou seja, o conjunto ortonormal forma uma base do espaço.^[10] Portanto:

${\displaystyle F=c_{1}\phi _{1}(k)+c_{2}\phi _{2}(k)+c_{3}\phi _{3}(k)}$.

Podemos encontrar o coeficiente ${\displaystyle c_{n}}$, basta usar as propriedades do produto interno:

seja ${\displaystyle (\phi _{m},\phi _{n})=\delta _{mn}}$, onde ${\displaystyle \delta _{mn}}$ é o delta de Kronecker. Portanto:

${\displaystyle C_{n}=(F,\phi _{n})=\sum _{k=1}^{3}F(k)\phi _{n}(k)}$.

Supondo agora que temos uma função contínua por partes onde ${\displaystyle f(k)}$ representa a ordenada associada à abscissa k, se a função for definida para x dentro de um intervalo, agora não conseguimos mais obter a norma do vetor simplesmente usando a soma trivial, é natural pensar portanto que a soma do quadrado das componentes será feito por integração:

${\displaystyle \left\|f\right\|={\begin{Bmatrix}\int _{a}^{b}f(x)^{2}dx\end{Bmatrix}}^{\frac {1}{2}}}$

usando o mesmo princípio definimos o produto interno de duas funções como:

${\displaystyle (f_{1},f_{2})=\int _{a}^{b}f_{1}(x)f_{2}(x)dx}$

também podemos definir o conjunto ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\phi _{n}(x)\end{Bmatrix}}}$. O conjunto ortonormal sobre o intervalo pode ser calculado da mesma forma que em vetores, como segue: ${\displaystyle \phi _{n}(x)=\left\|f_{n}\right\|^{-1}f_{n}(x)}$

e o produto interno entre eles também, lembrando é claro que agora temos que cobrir todo o intervalo e não usamos mais soma e sim a integral dentro do intervalo:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)dx}$.

A ideia agora é escrever a função f(x) como uma combinação linear do conjunto ortonormal de funções, ou seja, ${\displaystyle f(x)=c_{1}\phi _{1}(x)+c_{2}\phi _{2}(x)+...+c_{n}\phi _{n}(x)}$

lembrando que x precisa estar dentro do intervalo. Quando estávamos lidando com vetores podíamos descobrir os coeficientes da série, e com funções não será diferente, podemos usar a mesma ideia proposta quando estávamos trabalhando com vetores: obter o produto interno de ambos os lados envolvendo ${\displaystyle \phi _{n}(x)}$, obtendo desta forma o coeficiente ${\displaystyle c_{n}}$ através da definição de produto interno. Portanto:

${\displaystyle c_{n}=\int _{a}^{b}f(x)\phi _{n}(x)dx}$ (produto interno entre as funções)

Agora já estamos aptos a definir a série de Fourier generalizada através das funções ortogonais e do produto interno entre a função e o conjunto de funções ortogonais que define cada coeficiente da série:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}(x)\int _{a}^{b}f(\xi )\phi _{n}(\xi )d\xi }$.

Uma série trigonométrica é uma série da forma

${\displaystyle T(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cdot \cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\cdot \operatorname {sen} \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right]}$

Seja ${\displaystyle f}$ uma função periódica de período ${\displaystyle 2L}$, ou seja ${\displaystyle f(t+2L)=f(t)}$ para todo ${\displaystyle t}$, a qual satisfaz às seguintes condições, conhecidas como as condições de Dirichlet:

• A função é unívoca/injetora (de um para um), e contínua exceto em um número finito de descontinuidade ordinárias dentro do período 2L;
• A função tem um número finito de máximos e mínimos dentro do período 2L;
• A função é absolutamente integrável, ou seja, a integral ${\displaystyle \int _{0}^{2L}|f(t)|\,dt}$ converge;

Então define-se a Série de Fourier da função ${\displaystyle f}$ como a série trigonométrica dada pelos coeficientes:

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{L}}\int _{c}^{c+2L}f(t)\,dt}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{L}}\int _{c}^{c+2L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\,dt}$, ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{L}}\int _{c}^{c+2L}f(t)\,\operatorname {sen} \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\,dt}$ , ${\displaystyle n\geq 1}$

para n inteiro. Observamos aqui que, como ${\displaystyle f}$ periódica de período ${\displaystyle 2L}$, o intervalo de integração pode ser qualquer intervalo de comprimento ${\displaystyle 2L}$, sendo que geralmente são utilizados ${\displaystyle [0,2L]}$ ou ${\displaystyle [-L,L]}$.^[6]

Os coeficientes ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 0}$ e ${\displaystyle b_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 1}$ são conhecidos como coeficientes de Fourier.

Também podemos expressar a série de Fourier da função ${\displaystyle f(t)}$ com período ${\displaystyle T}$ como^[11]

${\displaystyle f(t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cdot \cos(w_{n}t-\theta _{n})}$

em que

${\displaystyle A_{0}={\frac {a_{0}}{2}}}$, ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$ para ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \theta _{n}=\arctan({\frac {b_{n}}{a_{n}}})}$

${\displaystyle w_{n}={\frac {2n\pi }{T}}}$

A igualdade entre a forma harmônica e a forma trigonométrica se dá por meio da identidade trigonométrica do cosseno da diferença:

${\displaystyle \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\operatorname {sen}(a)\operatorname {sen}(b)\,}$

Aplicando a identidade na forma harmônica, tem-se que:

${\displaystyle f(t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[A_{n}\cos(\theta _{n})\cos(w_{n}t)+A_{n}\sin(\theta _{n})\sin(w_{n}t)]}$

Comparando os termos com os da representação trigonométrica, tem-se que:

${\displaystyle A_{0}={\frac {a_{0}}{2}},a_{n}=A_{n}\cos(\theta _{n})}$ e ${\displaystyle b_{n}=A_{n}\sin(\theta _{n})}$

Usando-se as expressões para as funções trigonométricas provenientes da fórmula de Euler: ${\displaystyle e^{ix}=cos(x)+isen(x)}$

${\displaystyle \operatorname {sen} z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}=-i{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2}}}$

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}}$

Substituindo-as na forma harmônica da série de Fourier:

${\displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}{\frac {e^{iw_{n}t}+e^{-iw_{n}t}}{2}}-ib_{n}{\frac {e^{iw_{n}t}-e^{-iw_{n}t}}{2}}\right]}$

em que

${\displaystyle w_{n}={\frac {n\pi }{L}}}$

${\displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}e^{iw_{n}t}+{\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}e^{-iw_{n}t}\right]}$

Considerando a paridade das funções cosseno (par) e seno (ímpar) é possível notar que

${\displaystyle a_{-n}=a_{n}}$

${\displaystyle b_{-n}=-b_{n}}$ e ${\displaystyle b_{0}=0}$

em que foi usado

${\displaystyle cos(-x)=cos(x)}$ e ${\displaystyle sen(-x)=-sen(x)}$

${\displaystyle w_{-n}={\frac {(-n)\pi }{L}}=-w_{n}}$

Como notação é tomado: ${\displaystyle c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}}$ , tal que ${\displaystyle c_{0}={\frac {a_{0}-ib_{0}}{2}}={\frac {a_{0}}{2}}}$ dado por

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(t)\,dt}$

Para calcular os coeficientes com índices diferentes de zero utilizamos a fórmula de Euler:

${\displaystyle {\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(t)\,(cos(w_{n}t)-isen(w_{n}t))dt}$

Logo,

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(t)\,e^{-iw_{n}t}dt}$

Para a expressão da função obtemos

${\displaystyle f(t)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\,e^{iw_{n}t}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{-n}\,e^{-iw_{n}t}}$

que pode ser simplificada em

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{iw_{n}t}}$

Séries de Fourier usuais

Domínio do tempo ${\displaystyle f(x)}$	Gráfico	Domínio da Frequência ${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$	Observações	Referência
${\displaystyle f(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{T}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<T}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {4A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{1-n^{2}}}&\quad n{\text{ par}}\\0&\quad n{\text{ ímpar}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$	Onda completa retificada (seno)	[12]:p. 193
${\displaystyle f(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{T}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<T/2\\0&\quad {\text{for }}T/2\leq x<T\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{1-n^{2}}}&\quad n{\text{ par}}\\0&\quad n{\text{ ímpar}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$	Meia onda retificada (seno)	[12]:p. 193
${\displaystyle f(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot T\\0&\quad {\text{for }}D\cdot T\leq x<T\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&2AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle f(x)={\frac {Ax}{T}}\quad {\text{for }}0\leq x<T}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[12]:p. 192
${\displaystyle f(x)=A-{\dfrac {Ax}{T}}\quad {\text{for }}0\leq x<T}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[12]:p. 192
${\displaystyle f(x)={\frac {4A}{T^{2}}}\left(x-{\frac {T}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<T}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$		[12]:p. 193

Para a função ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle 2\pi }$-periódica dada por

${\displaystyle g(t)={\begin{cases}-1,\,-\pi <t<0\\+1,\,0\leq t<\pi \end{cases}}}$

encontramos os seguintes coeficientes de Fourier^[13][14]

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,dt=0}$ ,

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{\pi }}\right)\,dt=0}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,\operatorname {sen} \left({\frac {n\pi t}{\pi }}\right)\,dt={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1-(-1)^{n}}{n}}}$

Logo, a série de Fourier de ${\displaystyle g(t)}$ é dada por

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1-(-1)^{n}}{n}}\cdot \operatorname {sen}(nt)}$

A função onda quadrada escrita na forma trigonométrica da Série de Fourier é dada por:

${\displaystyle {\displaystyle h(t)={\frac {4}{\pi }}(sen(\pi \,t)+{\tfrac {1}{3}}sen(3\pi \,t)+{\tfrac {1}{5}}sen(5\pi \,t)+...)}}$ com ${\displaystyle {\displaystyle \omega n=n\pi }}$

Encontrando os seguintes coeficientes: ${\displaystyle {\displaystyle C_{0}={\frac {a_{0}}{2}}=0}}$ e ${\displaystyle {\displaystyle C_{n}={\frac {0-i2{\tfrac {1-(-1)^{n}}{\pi n}}}{2}}=i{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n}},n\neq 0}}$

A função onda quadrada pode ser escrita na forma exponencial como

${\displaystyle {\displaystyle h(t)=...+{\frac {2}{3\pi }}ie^{-i3\pi t}+{\frac {2}{\pi }}ie^{-i\pi t}-{\frac {2}{\pi }}ie^{i\pi t}-{\frac {2}{3\pi }}ie^{i3\pi t}-...}}$

Os coeficientes ${\displaystyle c_{n}}$ da expansão de uma função em Série de Fourier Complexa são números complexos. É comum representar os ${\displaystyle c_{n}}$ na forma de módulo e fase, isto é:

${\displaystyle c_{n}=|c_{n}|e^{i\phi _{n}}}$

Pode-se representar ${\displaystyle c_{n}}$ através de dois diagramas: um para as suas amplitudes (conhecido como espectro de amplitudes) e outro para as suas fases (conhecido como espectro de fases):^[15]

• Espectro de amplitudes: é um diagrama onde grafa-se os valores das amplitudes ${\displaystyle |C_{n}|}$ dos coeficientes de Fourier versus ${\displaystyle n\omega _{0}}$, isto é, um gráfico da forma: ${\displaystyle |C_{n}|}$ × ${\displaystyle n\omega _{0}}$.

• Espectro de fase: é um diagrama onde grafa-se os valores das fases ${\displaystyle \phi _{n}}$ dos coeficientes de Fourier versus ${\displaystyle n\omega _{0}}$, isto é, um gráfico da forma: ${\displaystyle \phi _{n}}$ × ${\displaystyle n\omega _{0}}$.

Nas aplicações da engenharia, normalmente se presume que a Série de Fourier converge em todos os pontos, exceto nas descontinuidades. Isso se deve ao fato de que essas funções são mais comportadas do que as que os matemáticos fornecem em contrapartida. Em particular, se ${\displaystyle s}$é contínua e derivada de ${\displaystyle f(x)}$, que pode apresentar descontinuidade, é integrável ao quadrado, então a Série de Fourier ${\displaystyle f}$converge para ${\displaystyle f(x)}$. Se uma função é integrável ao quadrado no intervalo ${\displaystyle [xo,xo+T]}$, então a série de Fourier converge para a função em praticamente todos os pontos. A convergência das séries de Fourier também depende do número finito de máximos e mínimos em uma função que é popularmente conhecida como uma das condições de Dirichlet para as séries de Fourier. É possível definir coeficientes de Fourier para funções ou distribuições mais gerais, nesses casos a convergência em norma ou convergência fraca é usualmente de interesse.^[16]

Considerando uma função ${\displaystyle f(t)}$, com período ${\displaystyle T}$ e representável por uma série de Fourier, a seguinte identidade é válida:

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|f(t)|^{2}\,dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|C_{n}|^{2}}$

Sendo ${\displaystyle c_{n}}$ os coeficientes complexos da série analisada.
Esta integral se relaciona com o conceito de potência média de um sinal.

Considerando que

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|f(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t){\overline {f(t)}}\,dt}$

Como ${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}e^{iw_{n}t}}$, temos

${\displaystyle {\overline {f(t)}}={\overline {\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{n}e^{iw_{n}t}}}={\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {C_{n}e^{iw_{n}t}}}}={\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {C_{n}}}e^{-iw_{n}t}}}$

Substituindo esta expressão para ${\displaystyle {\overline {f(t)}}}$na definição de Potência Média dada por

${\displaystyle {\overline {P_{f}}}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|f(t)|^{2}dt}$

temos,

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|f(t)|^{2}dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t){\overline {f(t)}}\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t){\Bigl [}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {C_{n}}}e^{-iw_{n}t}}{\Bigr ]}dt}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|f(t)|^{2}dt={\frac {1}{T}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl [}{\overline {C_{n}}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-iw_{n}t}}dt{\Bigr ]}}$

Como ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-iw_{n}t}dt}$,temos:

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|f(t)|^{2}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {C_{n}}}C_{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|C_{n}|^{2}}$

As séries de Fourier transparecem em seus coeficientes a paridade das funções:^[14]

• Se f(t) for uma função ímpar, ${\displaystyle a_{0}=0}$ e ${\displaystyle a_{n}=0}$ para todo ${\displaystyle n\geq 1}$ e, além disso ${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(t)\,\operatorname {sen} \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\,dt}$ para ${\displaystyle n\geq 1}$.
• Se f(t) for uma função par, ${\displaystyle b_{n}=0}$ para todo ${\displaystyle n\geq 1}$ e, além disso, ${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(t)\,\operatorname {cos} \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\,dt}$ para ${\displaystyle n\geq 0}$

Algumas considerações sobre essas funções são importantes:

• A soma e a diferença de duas funções pares é par;
• A soma e a diferença de duas funções ímpares é ímpar;
• A soma e a diferença de uma função par e uma função ímpar não é nem par nem ímpar;
• O produto e o quociente de duas funções pares é par;
• O produto e o quociente de duas funções ímpares é par;
• O produto e o quociente de uma função par e uma função ímpar é ímpar.

Essas afirmações são úteis para o estudo da Transformada de Fourier, pois auxiliam no processo de integração.^[18]

A convergência das somas parciais de séries de Fourier de funções suaves por partes em torno de um salto, encontra-se oscilações cujas amplitudes não convergem para zero. Tal fenômeno envolve o fato que mesmo com a adição de mais termos a soma parcial, a ultrapassagem nos saltos das descontinuidades não desaparece. Temos a convergência ponto a ponto, no entanto, ao avaliarmos a diferença entre a função e a soma parcial, sempre encontramos um ponto onde esse valor é aproximadamente 8,9% da amplitude do salto.^[19]

As séries de Fourier são capazes de representar uma família de funções periódicas envolvendo tanto funções contínuas como não contínuas, diferentemente das séries de Taylor, que só representam funções contínuas e deriváveis^[20]. Algumas das funções representáveis podem ter significado físico, como os sinais musicais ou elétricos. Essas séries também são amplamente utilizadas na resolução de equações diferenciais parciais, como a equação da onda, do calor e problemas envolvendo a Equação de Laplace.

Para funções não periódicas a série de Fourier não está definida. Faz-se, então, o uso da transformada de Fourier, que possui uma possibilidade de aplicação mais ampla.

O uso da série nos sistemas de compressão como MP3, JPG, AVI, mantendo os sons e imagens com boa qualidade, ocupando apenas uma fração do espaço de armazenamento ou meio de transmissão que seus originais sem perdas necessitam.^[4] Em outras palavras, a série tornou imagens e músicas digitais em coisas práticas e, com rápido compartilhamento.^[4]

Usando as ferramentas e técnicas da espectroscopia por exemplo, astrônomos deduzem a composição química de uma estrela pela análise das componentes frequenciais (espectro) a partir das luzes emitidas pela estrela; engenheiros otimizam o projeto de um sistema de telecomunicações usando informações sobre as componentes espectrais de um sinal de dados que um sistema transportará.^[21]

Na medicina e biologia, em estudos de morfologia dentofacial, a aplicação de funções de Fourier para comparar a forma da arcada dentária, os perfis faciais e a forma mandibular entre diferentes populações humanas e gêmeos, forneceu novas informações sobre influências genéticas e ambientais na variação destas estruturas. Diferenças no tamanho e forma dos arcos dentários entre diferentes populações humanas forneceram evidências indiretas das diferenças genéticas subjacentes entre os grupos. Enquanto os aborígines australianos tendiam a ter maior arcada dentária maxilar e mandibular do que japoneses ou caucasianos, as diferenças mais significativas eram aspectos da forma do arco. os caucasianos e os japoneses exibiram arcos maxilares e mandibulares mais afunilados do que os australianos. Além disso, comparações de amplitudes de Fourier descrevendo arcos dentários em gêmeos forneceram evidências da influência de fatores genéticos no tamanho do arco e na relação entre a profundidade / largura do arco.^[22]

Vamos considerar que o espectro da função ${\displaystyle f(t)}$ é composto apenas por frequências inferiores a ${\displaystyle w_{c}}$, onde ${\displaystyle w_{c}}$é chamado de frequência de corte. Mostraremos que se conhecermos apenas os valores de ${\displaystyle f(t)}$ para ${\displaystyle t=kT}$, k ∈ Z, onde T é o período de amostragem e ${\displaystyle w_{a}:=2w_{c}}$ é a frequência de amostragem, então podemos reconstruir exatamente ${\displaystyle f(t)}$em todos instantes de tempo. Considere ${\displaystyle f(t)}$ uma função real, definiremos ${\displaystyle f_{T}(t)}$ uma versão discretizada deste sinal da seguinte forma:

${\displaystyle f_{T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kT)\delta (t-kT)}$

Assim ${\displaystyle f_{T}(t)}$ é um trem de Dirac’s cujas amplitudes coincidem com o valor da função ${\displaystyle f(t)}$ nos pontos de amostragem ${\displaystyle kT}$.

A fim de calcularmos a transforma de Fourier de ${\displaystyle f_{T}(t)}$, observamos que:

${\displaystyle f_{T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kT)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-kT)=f(t)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (T-kT)=f(t)\delta _{T}(t)}$

onde  ${\displaystyle \delta _{T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$é uma função periódica cuja série de Fourier é dada por:

${\displaystyle \delta _{T}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=\sum _{k-\infty }^{\infty }C_{n}e^{iw_{n}t}}$ e ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta _{T}(t)e^{-iw_{n}t}dt={\frac {1}{T}}}$ assim,

${\displaystyle \delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{iw_{n}t}}$ e, portanto:

${\displaystyle f_{T}(t)=f(t)\delta _{T}(t)=f(t){\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{iw_{n}t}={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(t)e^{iw_{n}t}}$ e finalmente:

${\displaystyle F_{T}(w)={\mathcal {F}}\{f_{T}(T)\}={\frac {1}{T}}{\mathcal {F}}\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(t)e^{iw_{n}t}\}={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }F(w-w_{n})}$ onde se usou a propriedade do deslocamento no eixo ${\displaystyle w}$.

Observamos que se a frequência de amostragem ${\displaystyle w_{a}}$for superior a ${\displaystyle 2w_{c}}$, então ${\displaystyle F_{t}(w)={\frac {1}{T}}F(w)}$ no intervalo ${\displaystyle [-w_{c},w_{c}]}$ e, portanto, toda a informação de ${\displaystyle f(t)}$ é preservada. De fato, neste caso, podemos escrever:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{iwt}dw={\frac {1}{2\pi }}\int _{-w_{c}}^{w_{c}}F(x)e^{iwt}dw={\frac {1}{2\pi }}\int _{-w_{c}}^{w_{c}}TF_{T}(w)e^{iwt}dw}$

Como ${\displaystyle F_{T}(w)}$ pode ser calculada apenas com base nos pontos de amostragem, ${\displaystyle f(t)}$ pode ser reconstruída. Se ${\displaystyle w_{a}<2w_{c}}$, então existe superposição espectral, o que impede a reconstrução da ${\displaystyle f(t)}$. Este resultado é conhecido como teorema da amostragem de Nyquist-Shannon ou teorema cardinal da interpolação.

Suponhamos uma função não periódica. Definimos:

${\displaystyle {\begin{cases}f_{T}(t)=f(t),&{\text{-T/2 }}\leq t<{\text{ T/2}}\\f_{T}(t)=f(t+T),&\forall t\in \mathbb {R} \end{cases}}}$

Onde:

• ${\displaystyle f(t)}$ é uma função não periódica;

• ${\displaystyle f_{T}(t)}$ é uma função T-periódica que coincide com ${\displaystyle f(t)}$ no intervalo citado.

Dessa forma, é possível representar a função ${\displaystyle f(t)}$ em Série de Fourier, pois a função ${\displaystyle f_{T}(t)}$ carrega informação sobre a ${\displaystyle f(t)}$.

Exemplificando, temos a função não periódica ${\displaystyle f(t)=e^{-|t|}}$:

• Queremos aproximar o máximo ${\displaystyle f_{T}(t)}$ de ${\displaystyle f(t)}$, ou seja, obter o limite quando ${\displaystyle T\longrightarrow \infty }$;

• ${\displaystyle T}$ representa o período da função ${\displaystyle f_{T}(t)}$, dessa forma quando ${\displaystyle T}$ cresce a frequência fundamental ${\displaystyle w_{n}t}$ decresce.

Assim, a função ${\displaystyle f_{T}(t)}$ possui Série de Fourier da forma:

${\displaystyle f_{T}(t)=\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\displaystyle C_{n}e^{iw_{n}t}}$

Cujo ${\displaystyle C_{n}}$ é possível calcular sabendo que ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}e^{-|t|}e^{-iw_{n}t}dt={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}e^{-|t|}(\cos(w_{nt})-i\operatorname {sen}(w_{n}t))dt={\frac {2}{T}}\int \limits _{0}^{T/2}e^{-|t|}\cos(w_{nt})dt}$

${\displaystyle C_{n}={2 \over T}{\frac {1-(-1)^{n}e^{-T \over 2}}{1+w_{n}^{2}}}}$

Como quando ${\displaystyle T}$ cresce a frequência fundamental ${\displaystyle w_{n}t}$ decresce num gráfico ${\displaystyle |TC_{n}|vsW_{n}}$ as raias ficam cada vez mais próximas num diagrama de espectro, ou seja, é possível observar um aumento da densidade das linhas espectrais, e podemos escrever ${\displaystyle C_{n}}$ como:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f_{T}(\tau )e^{-iw_{n}\tau }d\tau }$

Agora, podemos definir:

${\displaystyle F_{T}(w)=\int \limits _{-T/2}^{T/2}f({\tau })e^{-iw\tau }d\tau }$

E também ${\displaystyle f_{T}(t)}$ em termos de ${\displaystyle F_{T}(w)}$:

${\displaystyle f_{T}(t)={\frac {1}{2\pi }}\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\displaystyle F_{T}(w_{n})e^{iw_{n}t}\Delta w}$

Que fazendo o limite de ${\displaystyle T\longrightarrow \infty }$ a soma de Riemann converge para a integral ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-T/2}^{T/2}F(w)e^{iwt}dw}$ , onde ${\displaystyle F(w)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iwt}dt}$

A Série de Fourier é utilizada na área de Matemática Aplicada, sendo amplamente utilizada na transformada de Fourier. Essa transformada é de extrema importância, pois é capaz de diminuir, por exemplo, a quantidade de informações que precisamos guardar para recriar uma onda. Desse modo, conseguimos recriar a onda apenas guardando as frequências que a compõem, em vez de armazenar cada ponto da amplitude dessa onda. Como essa transformada é de suma importância, discutiremos sobre algumas propriedades importantes dessa transformada:

Uma das mais importantes propriedades da transformada de Fourier é a linearidade.

• Demonstração da Linearidade:

Considere que: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}={\mathcal {F}}\{ax(t)+by(t)\}}$

Assim, ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{ax(t)+by(t)\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }[ax(t)+by(t)]e^{-itw}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{ax(t)+by(t)\}=a\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-iwt}dt\quad +b\int \limits _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-iwt}dt}$

utilizando a definição acima, temos que: ${\displaystyle F[ax(t)+by(t)]=aX(w)+bY(w)}$sendo X(w) e Y(w) as transformadas de Fourier. ^[18]

Se f(t) é uma função diferenciável, sua transformada de Fourier é

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'(t)\}=iwF(w)}$

utilizando a integração por partes temos:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'(t)\}=iw\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iwt}dt}$

então ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'(t)\}=iwF(w)}$^[19]

Dada uma função integrável ${\displaystyle f(t)}$, na qual sua transformada de Fourier ${\displaystyle F(w)}$ satisfaça ${\displaystyle F(0)=0}$, e considerando uma ${\displaystyle g(t)=\int \limits _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau }$ e o teorema fundamental do cálculo em que ${\displaystyle g'(t)=f(t)}$, podemos ver que:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{g'(t)\}={\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(w)}$

É observável que: $${\displaystyle \lim _{t\to \infty }g(t){\displaystyle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )d\tau }={\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )e^{i\cdot 0\cdot \tau }d\tau =F(0)}=0}$$e que $${\displaystyle \lim _{t\to \infty }g(t){\displaystyle =\int \limits _{-\infty }^{-\infty }f(\tau )d\tau }=0}$$Assim, ao usar a propriedade vista acima da transformada de Fourier da derivada podemos obter:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{g'(t)\}=iw{\mathcal {F}}\{g(t)\}}$
e assim

${\displaystyle F(w)=iw{\mathcal {F}}\{\int \limits _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau \}}$