Número p-ádico

Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897.

Dado um número primo p, um número p-ádico é representado como uma soma infinita:^[1]

${\displaystyle a=a_{-r}{\frac {1}{p^{r}}}+a_{-r+1}{\frac {1}{p^{r-1}}}+\ldots +a_{-1}{\frac {1}{p}}+a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\ldots \,}$

O principal uso destes números é na teoria de números.

Assim como ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ pode ser gerado a partir de ${\displaystyle \mathbb {Q} \,}$ a partir da definição usual de valor absoluto, ou seja, ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ é ${\displaystyle \mathbb {Q} \,}$ acrescido do valor limite das sucessões de Cauchy,^{[Nota 1]} o conjunto dos números p-ádicos também é ${\displaystyle \mathbb {Q} \,}$ ao qual são agregados os valores limites das sucessões de Cauchy, só que, em vez de usar o valor absoluto usual, usa-se um valor absoluto diferente.^[2]

Este valor absoluto diferente, o valor absoluto p-ádico, representado por |.|_p, é tal que multiplicar um número por p, que no valor absoluto usual faz o resultado ser multiplicada por p, faz, neste caso, ser dividido por p. Por exemplo:^[2]

${\displaystyle \|p^{n}\|_{p}=\left({\frac {1}{p}}\right)^{n}\,}$

Como consequência, a sucessão das potências de p, x_n = pⁿ, que, no valor absoluto usual é uma sucessão divergente (seu limite é infinito), no valor absoluto p-ádico é uma sucessão convergente, e seu limite é zero.^[2]

Define-se ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}\,}$ como sendo a completação de ${\displaystyle \mathbb {Q} \,}$ usando-se o valor absoluto p-ádico.^[2] É simples verificar que ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}\,}$ também é um corpo.^{[Nota 2]}

Um resultado do valor absoluto p-ádico é que o critério para convergência de uma série é mais simples que o critério para o valor absoluto usual: para uma série infinita ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ ser convergente, é necessário e suficiente que a_n seja uma sequência que converge para zero.^{[2][Nota 3]}

Ou seja, para índices a_n números naturais entre 0 e p-1, uma expressão do tipo:

${\displaystyle a_{-k}p^{-k}+\ldots +a_{-1}p^{-1}+a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\ldots \,}$

converge para algum número p-ádico. O resultado mais importante, porém, é que é possível demonstrar que todo número p-ádico pode ser escrito de forma única como uma série desta forma, ou seja, uma série de potências em p que está limitada para as potências negativas de p, mas não precisa estar limitada para as potências positivas.^[2]

Ver artigo principal: Valor absoluto p-ádico

Para um número p-ádico a ≠ 0 expresso como:

${\displaystyle a=a_{-r}{\frac {1}{p^{r}}}+a_{-r+1}{\frac {1}{p^{r-1}}}+\ldots +a_{-1}{\frac {1}{p}}+a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\ldots \,}$

com a_-r ≠ 0, o valor absoluto p-ádico vale:

${\displaystyle \|a\|_{p}=p^{r}\,}$

Por exemplo, |p|_p = 1/p e |p²|_p = 1/p².^[3]

Toda sequência de Cauchy em ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}\,}$ converge.^[3]

Notas e referências

Notas

Referências

• Inteiro p-ádico

• «p-adicNumber» 
• «inteiros p--adicos». em planetmath 
• «p-adic number». at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics 
• «Completion of Algebraic Closure» (PDF). - on-line lecture notes 

• Gouvêa, Fernando Q. (2000). p-adic Numbers : An Introduction 2nd edition ed. [S.l.]: Springer. ISBN 3-540-62911-4 
• Robert, Alain M. (2000). A Course in p-adic Analysis. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98669-3 
• Steen, Lynn Arthur (1978). Counterexamples in Topology. [S.l.]: Dover. ISBN 0-486-68735-X 
• Jones, Gareth A., Jones, Josephine Mary. Elementary Number Theory. Springer, 1998. 301 p. ISBN 3540761977
• Heinz-Dieter Ebbinghaus, John H. Ewing. Numbers. 1990. Springer. ISBN 0387974970
• Jean Pierre Serre. A Course in Arithmetic. 1973. Springer. ISBN 0387900403

• Portal da matemática

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