Densidade de carga

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A densidade de carga linear, superficial ou volumétrica é uma quantidade de carga elétrica em uma linha, superfície ou volume respectivamente. Ela é medida em coulombs por metro (C/m), metro quadrado (C/m²), ou metro cúbico (C/m³), respectivamente. Como existem cargas positivas e negativas, a densidade pode tomar também valores negativos. Assim como qualquer densidade, ela depende da sua posição. Ela não deve ser confundido densidade de portadores de carga. Como relatado na química, a densidade de carga pode se referir a distribuição sobre o volume de uma partícula, átomo ou molécula. Assim, um cátion de lítio possui mais densidade de carga do que um cátion de sódio, pois o sódio possui raio atômico maior.

A integral da densidade de carga ${\displaystyle \alpha _{q}(\mathbf {r} )}$, ${\displaystyle \sigma _{q}(\mathbf {r} )}$, ${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )}$ sobre a linha ${\displaystyle l}$, superfície ${\displaystyle S}$, ou volume ${\displaystyle V}$, é igual a carga total ${\displaystyle Q}$ desta região, definida como^[1]:

${\displaystyle Q=\int \limits _{L}\alpha _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} l}$,

${\displaystyle Q=\int \limits _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} S}$,

${\displaystyle Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V.}$

Esta relação define densidade de carga matematicamente. Note que alguns símbolos utilizados para denotar várias dimensões podem variar dependendo do campo de estudo. Comumente a notação utilizada é ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \rho }$; or ${\displaystyle \rho _{l}}$, ${\displaystyle \rho _{s}}$, ${\displaystyle \rho _{v}}$ para (C/m), (C/m²), (C/m³) respectivamente.

Para o caso de uma densidade de carga homogênea, que é independente da posição, é igual a ${\displaystyle \rho _{q,0}}$, a equação simplifica-se a:

${\displaystyle Q=V\cdot \rho _{q,0}}$

A prova é simples. Comece com a definição de carga de um volume qualquer:

${\displaystyle Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V}$

Então, pela definição de homogeneidade, ${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )}$ é uma constante que será denotaremos ${\displaystyle \rho _{q,0}}$ para diferenciar entre a forma constante e não constante, e então, pela propriedade da integral, ela pode ser levada para fora da integração, resultando em:

${\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int \limits _{V}\,\mathrm {d} V}$

Novamente, pelas propriedades das integrais:

${\displaystyle \int \limits _{V}\,\mathrm {d} V}$ = ${\displaystyle V}$

Entretanto, pela substituição:

${\displaystyle \rho _{q,0}\int \limits _{V}\,\mathrm {d} V}$ = ${\displaystyle V\cdot \rho _{q,0}}$

Que resulta em:

${\displaystyle Q=V\cdot \rho _{q,0}}$

Que é precisamente o resultado mencionado acima para a densidade volumétrica de carga. As provas para a densidade linear e superficial são equivalentes e seguem os mesmos argumentos

Se a carga em uma região consiste de ${\displaystyle N}$ portadores de cargas pontuais, tal como elétrons, a densidade de carga pode ser expressa pela função delta de Dirac. Por exemplo, a densidade volumétrica de carga é:

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\cdot \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}).}$

Aqui, ${\displaystyle q_{i}}$ é a carga e ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ a posição do i-ésimo portador de carga. Se todos portadores de carga possuírem a mesma carga, então a densidade de carga pode ser expressa em função da densidade de portadores de cargas ${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$:

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot \sum _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=q\cdot n(\mathbf {r} )}$

Novamente, as equações equivalentes para densidade de carga linear e superficial seguem diretamente das relações acima.

Em mecânica quântica, densidade de carga é relacionado a função de onda ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ pela equação

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot |\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$

quando a função de onda é normalizado como

${\displaystyle Q=q\cdot \int |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d\mathbf {r} }$

A densidade de carga aparece na equação de continuidade que segue das Equações de Maxwell no eletromagnetismo.

Referências