Homotopia

Este artigo não cita fontes confiáveis. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A) (Agosto de 2021)

Em topologia, homotopia (do grego antigo: ὁμός homós "mesmo" τόπος tópos "lugar") significa deformar continuamente de duas aplicações em um espaço topológico. Homotopia possuí várias aplicações na matemática, atuando principalmente como um invariante topológico.

Definição Formal[editar | editar código-fonte]

Em Topologia, Duas funções contínuas ${\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}$ entre espaços topológicos dizem-se homotópicas se existir uma aplicação contínua ${\displaystyle F:X\times [0,1]\rightarrow Y}$, chamada homotopia, tal que ${\displaystyle F(x,0)=f(x)}$ e ${\displaystyle F(x,1)=g(x)}$, onde ${\displaystyle F_{t}=F_{|X\times \{t\}}}$.

Intuitivamente, podemos pensar o parâmetro ${\displaystyle t}$ como sendo o tempo, assim ${\displaystyle F}$ descreve uma deformação contínua de ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle g}$: quando ${\displaystyle t=0}$ temos a função ${\displaystyle f(x)}$ e quando ${\displaystyle t=1}$ temos a função ${\displaystyle g(x)}$.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Seja ${\displaystyle X}$ um espaço topológico. Dizemos que dois caminhos ${\displaystyle f,g:I\to X}$, com ${\displaystyle f(0)=x_{0}=g(0)}$ e ${\displaystyle f(1)=x_{1}=g(1)}$ são homotópicos se existe uma função contínua ${\displaystyle H:I\times I\to X}$ tal que

$${\displaystyle H(s,0)=f(s),H(s,1)=g(s),H(0,t)=x_{0}=f(0)=g(0),H(1,t)=x_{1}=f(1)=g(1),\forall t\in I.}$$

${\displaystyle [f]=\{g:I\to X|f\sim g\}}$

${\displaystyle f\sim g}$

Se for o caso em que ${\displaystyle f(1)=g(0)}$, isto é, o fim do caminho ${\displaystyle f}$ é o início do caminho ${\displaystyle g}$, então podemos definir o produto destes caminhos como sendo o caminho

${\displaystyle (f\cdot g)(s)={\begin{cases}f(2s),&{\text{se }}0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1),&{\text{se }}{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1\end{cases}}}$

O produto de caminhos satisfaz as propriedades de associatividade: ${\displaystyle (f\cdot g)\cdot h=f\cdot (g\cdot h)}$, existência do elemento neutro: ${\displaystyle \exists f_{x_{0}}=x_{0}{\text{e}}f_{x_{1}}=x_{1}{\text{caminhos constantes, tais que }}f\cdot f_{x_{1}}=f=f_{x_{0}}\cdot f}$ e existência do elemento inverso: existe um ${\displaystyle {\bar {f}}:I\to X,s\mapsto {\bar {f}}=f(1-s)}$ tal que ${\displaystyle {\bar {f}}\cdot f=f_{x_{1}}\ {\text{e}}\ f\cdot {\bar {f}}=f_{x_{0}}}$.

Grupos de homotopia[editar | editar código-fonte]

Definimos o grupo de homotopia relativo ao ponto base ${\displaystyle x_{0}}$, como sendo o conjunto ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\{[f]\mid f:I\to X,f(0)=f(1)=x_{0}\}}$, munido do produto definido acima.

O n-ésimo grupo de homotopia de um espaço topológico ${\displaystyle X}$, com ponto base ${\displaystyle x_{0}}$, que se representa por ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$, é o grupo constituído pelo conjunto das classes de homotopia das aplicações contínuas ${\displaystyle \alpha :[0,1]^{n}\rightarrow X}$ tais que ${\displaystyle \alpha (\partial [0,1]^{n})=\{x_{0}\}}$, munido com a operação justaposição. O primeiro destes grupos denomina-se grupo fundamental.

Equivalência homotópica[editar | editar código-fonte]

Dois espaços topológicos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ dizem-se homotopicamente equivalentes se existirem aplicações contínuas entre esses espaços ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ e ${\displaystyle g:Y\rightarrow X}$ tais ${\displaystyle f\circ g}$ e ${\displaystyle g\circ f}$ sejam homotópicas respectivamente às aplicações identidade de ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle X}$. Equivalência homotópica é a noção de igualdade traduzida pela ideia de deformação.

Outras noções de igualdade topológica[editar | editar código-fonte]

• Homeomorfismo
• Difeomorfismo

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e