Matriz totalmente positiva

Em matemática, uma matriz totalmente positiva é uma matriz quadrada na qual todos os menores são positivos, ou seja, o determinante de toda submatriz quadrada é um número positivo.^[1] Uma matriz totalmente positiva tem todas as entradas positivas, sendo assim também uma matriz positiva; e tem todos os menores principais positivos (e autovalores positivos), por isso também é uma matriz positiva definida. Uma matriz totalmente não negativa é definida de forma semelhante, exceto que todos os menores devem ser não negativos (positivos ou nulos). Alguns autores usam "totalmente positiva" para incluir todas as matrizes totalmente não negativas.

Seja ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{ij})_{ij}}$ uma matrix n × n. Considere qualquer ${\displaystyle p\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ e qualquer submatriz p × p da forma ${\displaystyle \mathbf {B} =(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }}$ onde:

${\displaystyle 1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n,\qquad 1\leq j_{1}<\ldots <j_{p}\leq n.}$

Então A é uma matriz totalmente positiva se:^[2]

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )>0}$

para todas as submatrizes ${\displaystyle \mathbf {B} }$ que pode ser formada desta forma.

Referências

• Allan Pinkus (2009), Totally Positive Matrices, ISBN 9780521194082, Cambridge University Press 

• Spectral Properties of Totally Positive Kernels and Matrices, Allan Pinkus
• Parametrizations of Canonical Bases and Totally Positive Matrices, Arkady Berenstein
• Tensor Product Multiplicities, Canonical Bases And Totally Positive Varieties (2001), A. Berenstein , A. Zelevinsky