Matriz nilpotente

Em álgebra linear, uma matriz nilpotente é uma matriz quadrada N tal que

$${\displaystyle N^{k}=0}$$

para algum número inteiro positivo ${\displaystyle k.}$ O menor valor ${\displaystyle k}$ satisfazendo a condição anterior é chamado de índice de ${\displaystyle N,}$ ^[1] e às vezes de grau de ${\displaystyle N.}$

Mais geralmente, uma transformação nilpotente é uma transformação linear ${\displaystyle L}$ de um espaço vetorial tal que ${\displaystyle L^{k}=0}$ para algum número inteiro positivo ${\displaystyle k}$ (e assim, ${\displaystyle L^{j}=0}$ para todo ${\displaystyle j\geq k}$)^[2][3][4] Ambos os conceitos são casos especiais de um conceito mais geral de nilpotência que se aplica a elementos de anéis.

A matriz

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$$

é nilpotente com índice 2, uma vez que${\displaystyle A^{2}=0.}$

Mais geralmente, qualquer matriz triangular de ordem ${\displaystyle n}$ com zeros ao longo da diagonal principal é nilpotente, com índice ${\displaystyle \leq n.}$ Por exemplo, a matriz

$${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$$

é nilpotente, com

$${\displaystyle B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ :B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ :B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

O índice de ${\displaystyle B}$ é, portanto, igual 4.

Embora os exemplos acima tenham um grande número de entradas nulas, uma matriz nilpotente típica não tem. Por exemplo,

$${\displaystyle C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

embora a matriz não tenha entradas nulas.

Além disso, quaisquer matrizes da forma

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}}$$

ou

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}}$$

têm quadrado nulo.

Talvez alguns dos exemplos mais marcantes de matrizes nilpotentes sejam as matrizes quadradas ${\displaystyle n\times n}$ da forma:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}}$$

As primeiras de tais matrizes são as seguintes:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots }$$

Essas matrizes são nilpotentes, mas não há qualquer entrada nula em nenhuma potência com expoente menor do que o índice.^[5]

Para uma matriz ${\displaystyle N}$ quadrada, de ordem ${\displaystyle n\times n,}$ com entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmações são equivalentes:

• ${\displaystyle N}$é nilpotente.
• O polinômio característico de ${\displaystyle N}$ é${\displaystyle \det \left(xI-N\right)=x^{n}.}$
• O polinômio minimal de ${\displaystyle N}$ é ${\displaystyle x^{k}}$ para algum número inteiro positivo ${\displaystyle k\leq n.}$
• O único autovalor complexo de ${\displaystyle N}$ é 0.
• tr(N^k) = 0 para todo ${\displaystyle k>0.}$

O último teorema é verdadeiro para matrizes sobre qualquer corpo de característica 0, ou de característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)

Este teorema tem várias consequências, incluindo:

• O índice de um${\displaystyle n\times n}$ matriz nilpotente de ordem n é sempre menor ou igual a${\displaystyle n}$ n. Por exemplo, toda matriz nilpotente de ordem ${\displaystyle 2\times 2}$ tem quadrado nulo.
• O determinante e o traço de uma matriz nilpotente são sempre zero. Consequentemente, uma matriz nilpotente não pode ser invertida.
• A única matriz diagonalizável nilpotente é a matriz nula.

Considere a matriz de deslocamento:

$${\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}$$

Essa matriz tem 1s ao longo da superdiagonal e 0s em todas as outras entradas. Como uma transformação linear, a matriz de deslocamento "desloca" os componentes de um vetor uma posição para a esquerda, com um zero aparecendo na última posição:

$${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).}$$^[2]

Esta matriz é nilpotente com grau ${\displaystyle n}$, e é a matriz nilpotente canônica.

Especificamente, se ${\displaystyle N}$ é qualquer matriz nilpotente, então ${\displaystyle N}$ é semelhante a uma matriz diagonal em blocos da forma

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}}$$

em que cada um dos blocos ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}}$ é uma matriz de deslocamento (possivelmente de tamanhos diferentes). Essa forma é um caso especial da forma canônica de Jordan para matrizes.^[6]

Por exemplo, qualquer matriz nilpotente não nula de ordem 2 × 2 é semelhante à matriz

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

Em outras palavras, se ${\displaystyle N}$ é qualquer matriz 2 × 2 nilpotente não nula, então existe uma base b₁, b_{2 de} modo que Nb₁ = 0 e Nb₂ = b₁ .

Este teorema de classificação vale para matrizes sobre qualquer corpo. (Não é necessário que o corpo seja algebricamente fechado.)

Uma transformação nilpotente ${\displaystyle L}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ determina naturalmente uma bandeira de subespaços

$${\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}}$$

e uma assinatura

$${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.}$$

A assinatura caracteriza ${\displaystyle L}$ salvo por uma transformação linear invertível. Além disso, ela satisfaz as desigualdades

$${\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{para todo }}j=1,\ldots ,q-1.}$$

Reciprocamente, qualquer sequência de números naturais que satisfaça essas desigualdades é a assinatura de alguma transformação nilpotente.

• Se ${\displaystyle N}$ é nilpotente, então ${\displaystyle I+N}$ e ${\displaystyle I-N}$ são invertíveis, onde ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade. Os inversos são dados por$${\displaystyle {\begin{aligned}(I+N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\left(-N\right)^{m}=I-N+N^{2}-N^{3}+N^{4}-N^{5}+N^{6}-N^{7}+\cdots ,\\(I-N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }N^{m}=I+N+N^{2}+N^{3}+N^{4}+N^{5}+N^{6}+N^{7}+\cdots \\\end{aligned}}}$$Desde que ${\displaystyle N}$ seja nilpotente, ambas as somas convergem, visto que apenas um número finito de termos é diferente de zero.
• Se ${\displaystyle N}$ é nilpotente, então $${\displaystyle \det(I+N)=1,}$$ em que ${\displaystyle I}$ denota a ${\displaystyle n\times n}$matriz identidade. Por outro lado, se ${\displaystyle A}$ é uma matriz e $${\displaystyle \det(I+tA)=1}$$ para todos os valores de ${\displaystyle t,}$ então${\displaystyle A}$ é nilpotente. Na verdade, como ${\displaystyle p(t)=\det(I+tA)-1}$ é um polinômio de grau${\displaystyle n}$ n, é suficiente que isso valha para ${\displaystyle n+1}$ valores distintos de ${\displaystyle t.}$
• Toda matriz singular pode ser escrita como um produto de matrizes nilpotentes.^[7]
• Uma matriz nilpotente é um caso especial de uma matriz convergente.

Um operador linear ${\displaystyle T}$ é localmente nilpotente se para cada vetor ${\displaystyle v,}$ existe algum ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ tal que

$${\displaystyle T^{k}(v)=0.}$$

Para operadores em um espaço vetorial de dimensão finita, a nilpotência local é equivalente à nilpotência.

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, ISBN 0-395-14017-X, Boston: Houghton Mifflin Co. 
• Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra 2nd ed. , John Wiley & Sons 
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory 2nd ed. , New York: Wiley 

• Nilpotent matrix e nilpotent transformation no PlanetMath (em inglês)