Matriz bidiagonal

Em matemática, uma matriz bidiagonal é uma matriz banda com entradas diferentes de zero ao longo da diagonal principal e na diagonal acima ou na diagonal abaixo. Isso significa que há exatamente duas diagonais diferentes de zero na matriz.

Quando a diagonal acima da diagonal principal tem entradas diferentes de zero, a matriz é bidiagonal superior. Quando a diagonal abaixo da diagonal principal tem entradas diferentes de zero, a matriz é bidiagonal inferior.

Por exemplo, a matriz a seguir é bidiagonal superior:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4&0&0\\0&4&1&0\\0&0&3&4\\0&0&0&3\\\end{pmatrix}}}$

e a seguinte matriz é bidiagonal inferior:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\2&4&0&0\\0&3&3&0\\0&0&4&3\\\end{pmatrix}}.}$

Uma variante do algoritmo QR começa com a redução de uma matriz geral em uma bidiagonal,^[1] e a decomposição de valor singular usa esse método também.

A bidiagonalização é uma das decomposições matriciais unitárias (ortogonais) tais que ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{*}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {B}}}$, onde ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ e ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$ são matrizes unitárias (ortogonais); ${\displaystyle *}$ denota transposição hermitiana; e ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ é bidiagonal superior. ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ pode ser retangular.

Para matrizes densas, as matrizes unitárias esquerda e direita são obtidas por uma série de reflexões de Householder aplicadas alternadamente da esquerda e da direita. Isso é conhecido como bidiagonalização Golub-Kahan. Para matrizes grandes, eles são calculados iterativamente usando o método Lanczos, conhecido como método Golub-Kahan-Lanczos.

A bidiagonalização tem uma estrutura muito semelhante à decomposição de valores singulares (SVD). No entanto, é calculada dentro de operações finitas, enquanto SVD requer esquemas iterativos para encontrar valores singulares. É porque os valores singulares ao quadrado são as raízes dos polinômios característicos de ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}}}$, onde ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ é considerado alto.

Referências

• Stewart, G. W. (2001) Matrix Algorithms, Volume II: Eigensystems. Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-503-2.
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, ISBN 978-0-8018-5414-9 3rd ed. , Johns Hopkins .

• High performance algorithms para redução à forma condensada (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal)
• Golub-Kahan-Lanczos Bidiagonalization Procedure

• Portal da matemática