Fasor

Em física e engenharia, um vetor de fase ou fasor, é uma representação de uma função senoidal cuja amplitude (A), frequência angular (ω) e fase (θ) são invariantes no tempo. É um subconjunto de um conceito mais geral chamado representação analítica. Fasores separam as dependências em A, ω e θ em três fatores independentes. Isto pode ser particularmente útil, porque o fator de frequência (que inclui a dependência da senoide em relação ao tempo) muitas vezes é comum a todos os componentes de uma combinação linear das sinusoides. Nessas situações, fasores permitem esse recurso comum ser fatorado para fora, deixando apenas as características A e θ. O resultado é que reduz a trigonometria à álgebra e equações diferenciais se tornam funções algébricas. O fasor de termo, portanto, muitas vezes se refere a apenas esses dois fatores. Em textos antigos, um fasor é também referido como um sinor. A teoria de transformada fasorial foi desenvolvida por Charles Proteus Steinmetz trabalhando na General Electric no fim do século 19.

Trata-se da utilização de um vetor bidimensional para representar uma onda em movimento harmônico simples. Devido ao modelo matemático de uma onda em movimento harmônico simples

${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\alpha )\,}$

é possível identificar-se uma relação entre esse modelo e a projeção no eixo das abscissas do seguinte vetor

${\displaystyle {\vec {x}}(t)=A(\cos(\omega t+\alpha ){\vec {i}}+\sin(\omega t+\alpha ){\vec {j}})\,}$

Ou seja, é possível representar uma onda de amplitude máxima ${\displaystyle A\,}$ e ângulo de fase ${\displaystyle (\omega t+\alpha )\,}$ através de um vetor de magnitude ${\displaystyle A\,}$ e que perfaz o ângulo ${\displaystyle (\omega t+\alpha )\,}$ com o eixo das abscissas, no sentido directo.

A fórmula de Euler indica que sinusóides podem ser representados matematicamente como a soma de duas funções de valores complexos:

${\displaystyle A\cdot \cos(\omega t+\theta )=A\cdot {\frac {e^{i(\omega t+\theta )}+e^{-i(\omega t+\theta )}}{2}},}$ ^{[nota 1]}

ou como a parte real de uma das funções:

${\displaystyle {\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=\operatorname {Re} \left\{A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}\right\}\\&=\operatorname {Re} \left\{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right\}.\end{aligned}}}$

Como indicado acima, os ' fasores ' podem referir-se a ${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}\,}$ ou apenas ao complexo constante,  ${\displaystyle Ae^{i\theta }\,}$  . Neste último caso, entende-se ser uma notação abreviada, a amplitude e a fase de uma senóide subjacente de codificação.

Um atalho ainda mais compacto é a notação de ângulo: ${\displaystyle A\angle \theta .\,}$

Multiplicação do fasor  ${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}\,}$ por uma constante complexa,  ${\displaystyle Be^{i\phi }\,}$ , produz outro fasor. Isso significa que seu único efeito é alterar a amplitude e a fase da senoide subjacente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \{(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi })\cdot e^{i\omega t}\}&=\operatorname {Re} \{(ABe^{i(\theta +\phi )})\cdot e^{i\omega t}\}\\&=AB\cos(\omega t+(\theta +\phi ))\end{aligned}}}$

Em eletrônica,${\displaystyle Be^{i\phi }\,}$  representaria uma impedância, que é independente do tempo. Em particular não é a notação abreviada para outro fasor. Multiplicando um fasor corrente por uma impedância produz uma tensão de fasor. Mas o produto de dois fasores (ou quadratura de um fasor) representaria o produto de duas sinusóides, que é uma operação não-linear que produz novos componentes de freqüência. Notação de fasor só pode representar sistemas com uma freqüência, como um sistema linear estimulada por uma senóide.

A derivada do tempo ou integral de um fasor produz outro fasor.^{[nota 2]}

Por exemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \left\{{\frac {d}{dt}}(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t})\right\}&=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\omega A\cdot \cos(\omega t+\theta +\pi /2)\end{aligned}}}$

Portanto, na representação de fasor, a derivada do tempo de uma senóide fica apenas multiplicada pela constante,${\displaystyle i\omega =(e^{i\pi /2}\cdot \omega ).\,}$ Da mesma forma, integrar um fasor corresponde à multiplicação por ${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.\,}$  O fator tempo-dependente, ${\displaystyle e^{i\omega t}\,}$, não é afetado.

Quando resolvemos uma equação diferencial linear com aritmética de fasor, nós estamos meramente fatorando  ${\displaystyle e^{i\omega t}\,}$  fora de todos os termos da equação e voltando a colocar na resposta. Por exemplo, considere a seguinte equação diferencial para a tensão através do capacitor num circuito RC:

${\displaystyle {\frac {d\ v_{C}(t)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)={\frac {1}{RC}}v_{S}(t)}$

Quando a fonte de tensão nesse circuito é senoidal:

${\displaystyle v_{S}(t)=V_{P}\cdot \cos(\omega t+\theta ),\,}$

devemos substituir:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{S}(t)&=\operatorname {Re} \{V_{s}\cdot e^{i\omega t}\}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle v_{C}(t)=\operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\},}$

onde o fasor  ${\displaystyle V_{s}=V_{P}e^{i\theta },\,}$  e o fasor ${\displaystyle V_{c}\,}$ é a quantidade desconhecida a determinar.

Na notação abreviada do fasor, a equação diferencial se reduz a

${\displaystyle i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}}$

Resolvendo para o fasor tensão capacitor dá:

${\displaystyle V_{c}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot (V_{s})={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot (V_{P}e^{i\theta })\,}$

Como vimos, o fator de multiplicação${\displaystyle V_{s}\,}$  representa as diferenças de amplitude e fase de ${\displaystyle v_{C}(t)\,}$ relativo à ${\displaystyle V_{P}\,}$ e ${\displaystyle \theta .\,}$

Na forma de coordenadas polares, é:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )}}$, onde ${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)}$

Portanto:

${\displaystyle v_{C}(t)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{P}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega ))}$

A soma de vários fasores produz outro fasor. Isso é porque a soma de sinusóides, com a mesma frequência é também uma senóide com a freqüência:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\}+\operatorname {Re} \{A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}})e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{(A_{3}e^{i\theta _{3}})e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}$

onde:

${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},}$

${\displaystyle \theta _{3}=\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right)}$

ou,através da lei dos cossenos no plano complexo (ou a identidade trigonométrica para diferenças de ângulo):

${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta ),=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$

onde ${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}}$.

Um ponto chave é que A3 e θ3 não dependem ω ou t, que é o que possibilita a notação de fasor. A dependência de tempo e frequência pode ser suprimida e re-inserida para o resultado, enquanto as operações apenas usadas no meio são aqueles que produzem outro fasor. Na notação de ângulo, a operação mostrada acima está escrita:

${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.\,}$

Outra maneira de ver a adição é que dois vectores com coordenadas [A1 cos(ωt + θ1), A1 sin (ωt + θ1)] e [A2 cos(ωt + θ2), A2 sin (ωt + θ2)] são adicionados vetorialmente para produzir um vetor resultante com coordenadas [A3 cos(ωt + θ3), A3 sin (ωt + θ3)]. (ver animação)

Em física, este tipo de adição ocorre quando sinusóides interferem uns com os outros, de forma construtiva ou destrutiva. O conceito de vetor estático fornece percepções úteis sobre perguntas como esta: "que diferença de fase seria necessária entre três sinusóides idênticos para cancelamento perfeito?" Neste caso, basta imaginarmos três vetores de igual comprimento e colocando-os cabeça à cauda, de tal modo que a última cabeça combina com a cauda do primeiro. Claramente, a forma que satisfaz essas condições é um triângulo equilátero, então o ângulo entre cada fasor para o próximo é de 120 ° (2 π/3 radianos), ou um terço de um comprimento de onda λ/3. Assim a diferença de fase entre cada onda deve também ser 120 °, como é o caso de corrente trifásica. Em outras palavras, o que isto mostra é:

${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos(\omega t+2\pi /3)+\cos(\omega t+4\pi /3)=0.\,}$

No exemplo de três ondas, a diferença de fase entre a primeira e a última onda foi 240 graus, enquanto para duas ondas destrutivas a interferência acontece a 180 graus. No limite de muitas ondas, os fasores devem formar um círculo para a interferências destrutivas, para que o primeiro fasor seja quase paralelo com o último. Isso significa que, para muitas fontes, destrutivas interferências acontecem quando a primeira e a última onda diferem por 360 graus, um comprimento de onda completo. Isto é porque em único fenda difração, mínimos ocorrem quando a luz da borda distante viaja um comprimento de onda completo a mais que a luz vinda da fenda mais próxima.

Os fasores têm uma larga aplicação prática pois oferecem várias vantagens na manipulação e cálculo de ondas. Eis algumas vantagens:

Graças à natureza vetorial dos fasores, o cálculo do efeito da sobreposição de ondas reduz-se a uma soma vetorial.

Devido à natureza do modelo matemático da onda em movimento harmónico simples, das operações de derivação e das propriedades trigonométricas, a determinação da velocidade e aceleração duma partícula em movimento harmónico simples torna-se trivial. Derivando a expressão de ${\displaystyle x(t)}$ obtêm-se as seguintes expressões para a velocidade e aceleração:

${\displaystyle v(t)={\dot {x}}(t)=-A\omega \sin(\omega t+\alpha )\,}$

${\displaystyle a(t)={\ddot {x}}(t)=-A\omega ^{2}\cos(\omega t+\alpha )\,}$

A partir das relações trigonométricas deduz-se que a velocidade e a aceleração podem ser representados como vetores que prefazem um ângulo de ${\displaystyle \pi /2\,}$ e ${\displaystyle \pi \,}$ com o fasor posição e que possuem as magnitudes ${\displaystyle -A\omega \,}$ e ${\displaystyle -A\omega ^{2}\,}$ respectivamente.

Uma função senoidal ${\displaystyle F(t)}$ é uma função periódica que oscila entre dois valores ${\displaystyle -F_{\text{máx}}}$ e ${\displaystyle F_{\text{máx}}}$ , com a mesma forma de uma função seno ou cosseno, como mostra a figura abaixo.^[1]

A distância ${\displaystyle T}$ entre dois máximos ou dois mínimos sucessivos é o período da função e o seu inverso, ${\displaystyle f=1/T}$, é a frequência.

Se designarmos por ${\displaystyle t_{\text{máx}}}$a distância entre o ponto no eixo do tempo, onde a função atinge o seu valor máximo ${\displaystyle F_{\text{máx}}}$ antes de ${\displaystyle t=0}$ , e a origem, a fase da função é:

${\displaystyle \varphi =2\,\pi \left({\frac {t_{\text{máx}}}{T}}\right)}$

Consequentemente, as funções sinusoidais têm todas a forma geral:

${\displaystyle F(t)=F_{\text{máx}}\,\cos(\omega \,t+\varphi )}$

onde ${\displaystyle \omega }$ é a frequência angular:

${\displaystyle \omega =2\,\pi \,f}$

Repare que existem várias formas de representar a mesma função. Podíamos substituir o cosseno por seno e subtrair ${\displaystyle \pi /2}$ fase, sem alterar nada. Podíamos também inverter o sinal da frequência e da fase e somar ou subtrair à fase qualquer múltiplo de ${\displaystyle 2\,\pi }$.

No entanto, para poder garantir que duas funções sinusoidais são iguais unicamente se tiverem igual valor máximo, frequência e fase, vamos limitar-nos a usar unicamente a função cosseno, frequências positivas e fases no intervalo ${\displaystyle [0,2\,\pi ]}$ . Essas 3 escolhas são arbitrárias, mas habituais. Assim cada função sinusoidal é caraterizada por ${\displaystyle F_{\text{máx}},\omega }$ e ${\displaystyle \varphi }$. Duas funções sinusoidais que não tenham o mesmo valor máximo, frequência angular e fase, serão necessariamente diferentes. ^[1]

Para circuitos elétricos sinusoidais em regime permanente, é possível a utilização do método fasorial para o estudo, evitando uma resolução com equações diferenciais. Os elementos elétricos (resistências, indutâncias e capacitâncias) serão representados por impedâncias, todos em uma mesma unidade (ohm).

Um fasor funciona como um vetor, onde o módulo é a intensidade da grandeza medida (tensão ou corrente) e o ângulo (com relação à horizontal) mede a defasagem da grandeza corrente elétrica em relação a Tensão Elétrica em um componente.

Notas

Referências

• Douglas C. Giancoli (1989). Physics for Scientists and Engineers. [S.l.]: Prentice Hall. ISBN 0-13-666322-2 

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