Dimensão

 Nota: Para outros significados, veja Dimensão (desambiguação).

Na física e na matemática, a dimensão de um espaço matemático (ou objeto) é informalmente definida como o número mínimo de coordenadas necessárias para especificar qualquer ponto dentro dela.^{[1][2][nota 1]} Assim, uma reta tem uma dimensão de um (1) porque apenas uma coordenada é necessária para especificar um ponto nela – por exemplo, o ponto no 5 em uma reta numérica. Uma superfície como um plano ou a superfície de um cilindro ou esfera tem uma dimensão de dois porque duas coordenadas são necessárias para especificar um ponto nela – por exemplo, uma latitude e uma longitude são necessárias para localizar um ponto na superfície de uma esfera. O interior de um cubo, um cilindro ou uma esfera é tridimensional porque são necessárias três coordenadas para localizar um ponto dentro desses espaços.

Na mecânica clássica, espaço e tempo são categorias diferentes e referem-se a espaço e tempo absolutos. Essa concepção do mundo é um espaço de quatro dimensões, mas não o que foi considerado necessário para descrever o eletromagnetismo. As quatro dimensões do espaço-tempo consistem em eventos que não são absolutamente definidos espacial e temporalmente, mas são conhecidos em relação ao movimento de um observador. O espaço de Minkowski primeiro se aproxima do universo sem gravidade; as variedades pseudo-riemannianas da relatividade geral descrevem o espaço-tempo com a matéria e a gravidade. Dez dimensões são usadas para descrever a teoria das cordas, onze dimensões podem descrever a supergravidade e a teoria-M, e o espaço de estados da mecânica quântica é um espaço de função de dimensão infinita.

O conceito de dimensão não se restringe a objetos físicos. Espaços de alta dimensão frequentemente ocorrem na matemática e nas ciências. Eles podem ser espaços de parâmetros ou espaços de configuração, como na mecânica lagrangiana ou hamiltoniana; estes são espaços abstratos, independentes do espaço físico em que vivemos.

Na matemática, a dimensão de um espaço é o número de parâmetros necessários para identificar um ponto desse espaço.^{[nota 1]}

• A dimensão de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é ${\displaystyle n\,}$, isto é, cada ponto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é descrito por ${\displaystyle n\,}$ números reais.
• A dimensão real de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ é ${\displaystyle 2n\,}$, isto é, cada ponto de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ é descrito por ${\displaystyle 2n\,}$ números reais.
• A dimensão complexa de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ é ${\displaystyle n\,}$, isto é, cada ponto de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ é descrito por ${\displaystyle n\,}$ números complexos.
• A dimensão de um espaço vectorial é o número de vectores de qualquer base desse espaço.

É importante observar que a dimensão está vinculada à forma como o espaço se apresenta.

Assim, considerado como um espaço vetorial sobre os números reais ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, o espaço dos números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} \,}$ tem dimensão 2; considerado como um espaço vetorial sobre os números racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} \,}$, a sua dimensão é ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\,}$ (a potência do contínuo).

Analogamente, ${\displaystyle \mathbb {Q} [i,{\sqrt {3}}]\,}$ é um espaço de dimensão 2 sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}]\,}$, mas é um espaço de dimensão 4 sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} \,}$

Como outro exemplo, tome-se o espaço de Hilbert cuja base de Hilbert seja enumerável. No contexto dos espaços de Hilbert, ele tem, obviamente, dimensão ${\displaystyle \aleph _{0}\,}$, porém, visto como espaço vetorial, a sua dimensão é ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\,}$.

Ver artigo principal: Dimensão (espaço vetorial)

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base para o espaço, ou seja, o número de coordenadas necessárias para especificar qualquer vetor. Essa noção de dimensão (a cardinalidade de uma base) é frequentemente chamada de dimensão de Hamel ou dimensão algébrica para distingui-la de outras noções de dimensão.

Para o caso não-livre, isso se generaliza para a noção do comprimento de um módulo.

A dimensão de Hausdorff é útil para estudar conjuntos estruturalmente complicados, especialmente fractais. A dimensão Hausdorff é definida para todos os espaços métricos e, ao contrário das dimensões consideradas acima, também pode ter valores reais não inteiros.^[3] A dimensão da caixa ou a dimensão de Minkowski é uma variante da mesma ideia. Em geral, existem mais definições de dimensões fractais que funcionam para conjuntos altamente irregulares e atingem valores reais positivos não inteiros. Os fractais se mostraram úteis para descrever muitos objetos e fenômenos naturais.^{[4][falta página][5][falta página]}

Todo espaço de Hilbert admite uma base ortonormal, e quaisquer duas dessas bases para um espaço particular têm a mesma cardinalidade. Essa cardinalidade é chamada de dimensão do espaço de Hilbert. Essa dimensão é finita se, e somente se, a dimensão de Hamel do espaço é finita e, nesse caso, as duas dimensões coincidem.

Na física, as dimensões são parâmetros utilizados para descrever os fenômenos observados. A física clássica descreve o espaço em três dimensões. A teoria da relatividade geral propõe uma geometria quadridimensional conhecida como espaço-tempo e teorias mais modernas sugerem a existência de dez ou onze dimensões.

A física clássica descreve o espaço usando três dimensões: grosseiramente falando, qualquer movimento pode ser decomposto em três componentes: cima/baixo, direita/esquerda e frente/trás. Mover-se para baixo significa deslocar-se no sentido negativo na direção vertical; mover-se para a esquerda equivale a deslocar-se no sentido negativo da direção horizontal e mover-se para trás significa deslocar-se negativamente na direção de topo.

O tempo é muitas vezes chamado de quarta dimensão. Na física clássica e na percepção intuitiva humana, o tempo é visto como um parâmetro à parte das dimensões espaciais. Na teoria da relatividade, desenvolvida sobretudo pelos trabalhos de Henri Poincaré e Albert Einstein, o tempo é visto como uma das dimensões do espaço quadridimensional chamado de espaço-tempo.

A teoria das cordas e a teoria-M descrevem o universo com dez e onze dimensões, respectivamente.

Algumas redes complexas são caracterizadas por dimensões fractais.^[6] O conceito de dimensão pode ser generalizado para incluir redes incorporadas no espaço.^[7] A dimensão caracteriza suas restrições espaciais.

Referências

• Katta G Murty, "Systems of Simultaneous Linear Equations" (Capítulo 1 do Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, Publicação Científica Mundial: 2014 (ISBN 978-981-4366-62-5).
• Edwin A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions (1884) (Domínio público: Online version with ASCII approximation of illustrations no Project Gutenberg).
• Thomas Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Second Edition, W. H. Freeman and Company: 1996.
• Clifford A. Pickover, Surfing through Hyperspace: Understanding Higher Universes in Six Easy Lessons, Oxford University Press: 1999.
• Rudy Rucker, The Fourth Dimension, Houghton-Mifflin: 1984.
• Kaku, Michio (1994). Oxford University Press, ed. Hyperspace, a Scientific Odyssey Through the 10th Dimension. [S.l.: s.n.] ISBN 0-19-286189-1 
• Krauss, Lawrence M. (2005). Viking Press, ed. Hiding in the Mirror. [S.l.: s.n.] ISBN 0670033952 

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