Algoritmo de Floyd-Warshall

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Na ciência da computação, o algoritmo de Floyd-Warshall (também conhecido como: Floyd's algorithm, Roy–Warshall algorithm, Roy–Floyd algorithm, ou WFI algorithm) é um algoritmo que resolve o problema de calcular o caminho mais curto entre todos os pares de vértices em um grafo orientado (com direção) e valorado (com peso). O algoritmo Floyd-Warshall foi publicado por Robert Floyd em 1962. Este algoritmo é o mesmo que foi publicado por Bernard Roy em 1959 e também por Stephen Warshall em 1962 para determinar o fechamento transitivo de um grafo.^[1] O formato atual do algoritmo de Floyd-Warshall com três loops de repetição foi descrito por Peter Ingerman em 1962.

O algoritmo é um bom exemplo de programação dinâmica.

O algoritmo de Floyd-Warshall recebe como entrada uma matriz de adjacência que representa um grafo ${\displaystyle (V,E)}$ orientado e valorado. O valor de um caminho entre dois vértices é a soma dos valores de todas as arestas ao longo desse caminho. As arestas ${\displaystyle E}$ do grafo podem ter valores negativos, mas o grafo não pode conter nenhum ciclo de valor negativo. O algoritmo calcula, para cada par de vértices, o menor de todos os caminhos entre os vértices. Por exemplo, o caminho de menor custo. Sua ordem de complexidade é ${\displaystyle \Theta (|V|^{3})}$.

O algoritmo se baseia nos passos abaixo:

• Assumindo que os vértices de um grafo orientado ${\displaystyle G}$ são ${\displaystyle V={1,2,3,\ldots ,n}}$, considere um subconjunto ${\displaystyle {1,2,3\ldots ,k}}$;
• Para qualquer par de vértices ${\displaystyle (i,j)}$ em ${\displaystyle V}$, considere todos os caminhos de ${\displaystyle i}$ a ${\displaystyle j}$ cujos vértices intermédios pertencem ao subconjunto ${\displaystyle {1,2,3\ldots ,k}}$, e ${\displaystyle p}$ como o mais curto de todos eles;
• O algoritmo explora um relacionamento entre o caminho ${\displaystyle p}$ e os caminhos mais curtos de ${\displaystyle i}$ a ${\displaystyle j}$ com todos os vértices intermédios em ${\displaystyle {1,2,3\ldots ,k-1}}$;
• O relacionamento depende de ${\displaystyle k}$ ser ou não um vértice intermédio do caminho ${\displaystyle p}$.

Abaixo segue uma implementação em pseudocódigo do algoritmo de Floyd-Warshall:

ROTINA fw(Inteiro[1..n,1..n] grafo)
    # Inicialização
    VAR Inteiro[1..n,1..n] dist := grafo
    VAR Inteiro[1..n,1..n] pred
    PARA i DE 1 A n
        PARA j DE 1 A n
            SE dist[i,j] < Infinito ENTÃO
                pred[i,j] := i
    # Laço principal do algoritmo
    PARA k DE 1 A n
        PARA i DE 1 A n
            PARA j DE 1 A n
                SE dist[i,j] > dist[i,k] + dist[k,j] ENTÃO
                    dist[i,j] = dist[i,k] + dist[k,j]
                    pred[i,j] = pred[k,j]
    RETORNE dist

O algoritmo de Floyd-Warshall pode ser utilizado para resolver os problemas abaixo:

• Caminhos mais curtos em grafos orientados (algoritmo de Floyd). Para funcionar, os valores de todas as arestas são configurados para o mesmo número positivo. Esse número é normalmente escolhido como único, tanto é que o valor de um caminho coincide com o número de arestas ao longo desse caminho;
• Proximidade transitiva de grafos orientados (algoritmo de Warshall). Na formulação original deste último, o grafo se torna desvalorado (perde valores) e é representado por uma matriz booleana de adjacência. Depois, a operação de soma é substituída por conjunção lógica (E) e a operação de subtração por disjunção lógica (OU);
• Encontrar uma expressão regular denotando a linguagem regular aceita por um autômato finito (algoritmo de Kleene);
• Inversões de matrizes de números reais (algoritmo de Gauss-Jordan);
• Roteamento otimizado. Nesta aplicação, o interesse é encontrar o caminho com o máximo fluxo entre dois vértices. Isto significa que, em vez de calcular o mínimo no pseudocódigo acima, calcula-se o máximo. Os pesos das arestas representam constantes fixas de fluxo. Valores do caminho representam gargalos, logo a operação de soma acima é substituída pela operação de subtração;
• Testar se um grafo não-orientado é bipartido.^[1]

Referências

• Algoritmo de Floyd-Warshall em C++ [1]